41.1. АРИФМЕТИКА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ

 
  THIS SECTION IS UNDER CONSTRUCTION  
 


  
  F-формат 
 

Числа с фиксированной точкой F-формата напоминают целые числа, в которых
где то находится точка.

  


Числа могут быть знаковыми/беззнаковыми. Еще может быть вариант с выделенным знаком.

Например для четырехбитных чисел с фиксировнной точкой.

	Беззнаковый:
		--------------------
		2^1  2^0 . 2^-1 2^-2
		--------------------
		00.00  = 0
		00.01  = 0.25
		00.10  = 0.5
		00.11  = 0.75
		01.00  = 1
		01.01  = 1.25
		....
		11.11  = 3.75
		--------------------

	Знаковый:
		--------------------
		2^1 2^0  . 2^-1 2^-2
		--------------------
		00.00   = 0
		00.01   = 0.25
		...
		01.00   = 1
		...
		01.11   = 1.75
		11.11	= -0.25
		11.10	= -0.5
		11.01	= -0.75
		11.00	= -1
		10.00   = -2
		--------------------

	С выделенным знаком:
		--------------------
		S  2^0   . 2^-1 2^-2
		--------------------
		00.00	= 0
		00.01	= 0.25
		...
		01.00	= 1
		..
		01.11	= 1.75
		10.00   = -0 
		10.01   = -0.25
		...
		11.00   = -1
        	...
		11.11   = -1.75
		---------------------


  


Арифметика с фиксированной точкой:

Сложение
  


		XXXX.XX
	    +   XXXX.XX
	   --------------
	        XXXX.XX


		XXXX.XX
	    -   XXXX.XX
	   --------------
	        XXXX.XX




Умножение
  


		XXXX.XX
	    *   XXXX.XX
	   --------------
	        XXXXXX
	      XXXXXX
             XXXXXX
            XXXXXX
           XXXXXX
          XXXXXX
         ---------------
          XXXXXXXX.XXXX     



  
  Q-формат 
 

У чисел с фиксированной точкой те же проблемы что у целых чисел:
переполнение при сложении и переполнение при умножение (если результат
должен уместиться в разрядную сетку того же размера.

От переполенения при умножении можно избавиться если представлять числа
не более чем единица по модулю тогда:
		
		A * B < MIN(A,B)
например:
		0.6 * 0.2 = 0.12
		0.9 * 0.9 = 0.81
		0.1 * 0.1 = 0.01

  


Q-format чисел с фиксированной применяется в основном в DSP 
(например в выпускаемых TI)

	
	-----------------------------------
	-2^0 . 2^-1  2^2  ......    2^(-N+1)	веса разрядов	
	-----------------------------------
	-1     0.5   0.25  .....                веса разрядов
	-----------------------------------

Q формат позволяет представлять числа в диапазоне

		-1 <= X < 1

--------------------------------------------------
Тип числа		Q16		Q32
Разрядность бит         16		32
Largest (positive)	1-2^-15		1-2^-31
Smallest (positive)	2^-15		2^-31
Smallest (negative)	-1		-1
---------------------------------------------------


	Самое большое число   имеет вид 0.11..11  = 1-2^-(N-1)
	Самое маленькое число имеет вид 1.00..00  = -1
	

	Рассмотрим трехбитные числа в Q-формате:

		--------------
		0.00	0
		0.01	0.25
		0.10	0.5
		0.11	0.75
		1.00	-1
		1.01	-0.75
		1.10	-0.5
		1.11	-0.25
		--------------



Сложение/вычитание в Q-формате происходит как с обычными числами.
При этом как правило используют арифметеку с насыщением.

	0.100 + 0.100 =  1 (не представимо) = 0.111 насыщение.

Умножение выполняется как для знаковых чисел (т.е используя расширение знака).


  


	0.100 * 0.100 = 0.010  все ok

Но все равно при умножении возникает проблема - есть один частный случай:

	1.000 * 1.000 = 1 (не представимо)

	-1.0 * -1.0 = 1  (а 1.0 - непредставимо в Q-формате)

Поэтому для этого случая тоже используют насыщение.

  


Таким образом алгоритм умножения получается:
	Умножить знаково
	Сдвиг влево на 1 позицию
	Если биты знака равны 01 то сделать насыщение.