3.19. ДРОБНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Возьмем число p - основание системы счисления 1 < p < 2
Цифры: {0, 1}

Для положительного целого числа A находим наибольшее n1 такое что

	p^n1 <= A

Затем применяем эту процедуру к (A - p^n1)
итд

Собственно мы представляем целые числа в системе с дробным основанием
методом приближения к низу.


В принципе чем ближе p к единице тем тем больше подряд нулей между соседними
единицами т.к. неравенство  p^n1 + p^n2 < p^(n1+1) должно естественно выполняться.

Удобнее всего брать основание для которого выполняется соотношение a^2 = a + 1
(но это уже получаем Систему Бергмана).



Рассмотрим СЧ с основанием равным 3/2 = 1.5

  


Цифры: {0, 1}

Базис:
	--------------------------
	7	17.0859375
	6	11.390625
	5	7.59375
	4	5.0625
	3	3.375
	2	2.25
	1	1.5
	0	1 
	--------------------------


Числа:
	---------------------------
	0	0
	1	1
	2	10
	3	100
	4	1000
	5	1100
	6	10000
	7	10010
	8	100000
	9	100001
	10	100010
	11	101000
	12	1000000
	13	1000010
	14	1000100
	15	1001000
	16	1001001
	17	1010000
	18	10000000
	---------------------------

Понятно что Арифметические операции сложные и приближенные.



А теперь рассмотрим СЧ с основанием 1.9

  



Цифры: {0, 1}

Базис:
	--------------------------
	5	24.76099
	4	13.0321
	3	6.859
	2	3.61
	1	1.9
	0	0
	--------------------------


Числа:
	---------------------------
	0	0
	1	1
	2	10
	3	11
	4	100
	5	101
	6	110
	7	1000
	8	1001
	9	1010
	10	1011
	11	1100
	12	1101
	13	1110
	14	10000
	15	10010
	16	10011
	17	10100
	18	10101
	19	10110
	20	11000
	21	11001
	22	11010
	23	11011
	24	11100
	25	100000
	---------------------------




Добавим избыточность в систему с основнием 1.5
Это позволит нам точно представить все целые числа.

  


Цифры: {0, 1, 2}

Базис:
	--------------------------
	7	17.0859375
	6	11.390625
	5	7.59375
	4	5.0625
	3	3.375
	2	2.25
	1	1.5
	0	1 
	--------------------------



Числа:
	---------------------------
	0	0
	1	1
	2	2
	10	1.5
	11	2.5
	12	3.5
	20	3
	21	4
	22	5
	100	2.25
	101	3.25
	102	4.25
	110	3.75
	111	4.75
	112	5.75
	120	5.25
	121	6.25
	122	7.25	
	200	4.5
	201	5.5
	202	6.5
	210	6
	211	7
	212	8
	220	7.5
	221	8.5
	222	9.5
	---------------------------




По крайней мере мы сможем совместить соседние домены:

Таблица сложения:
	----------------
	+  |  0   1   2
	---+------------
	0  |  0   1   2
	1  |  1   2  20
	2  |  2  20  21
	----------------


	Например: 8 = 212
		  9 = 212 + 1

	212 + 001 = 210 + 020 = 200 + 200 = 200 + 100 + 100 = 2000 + 100 = 2100

	Проверка:
		2100 = 2*3.375 + 1*2.25 = 6.75 + 2.25 = 9	все верно


Таблица умножения:
	----------------
	*  |  0   1   2
	---+------------
	0  |  0   0   0
	1  |  0   1   2
	2  |  0   2  21
	----------------

	Пример:
		2 * 4 
		2 = 2
		4 = 21


		21
	   *	 2
	      -----
		 2
	       21
	      -----
	       212  = 8



Чтобы можно было хранить все целые числа необходимо чтобы домены пересекались.
Для этого надо так подбирать цифры - что бы они помогали связывать домен.
Таким образом для для получения целой части в старшем разряде нужна цифра:

	----------------------------------------------------------------------
	1.5  	1+1/2	2	2*(1+1/2) = 3
	1.(3)	1+1/3	3	3*(1+1/3) = 4
	1.25	1+1/4	4	4*(1+1/4) = 5
	----------------------------------------------------------------------
	1.(6)	1+2/3	3 (?)	3*(1+2/3) = 5   - а где хранить 4? - значит 4
	1.(6)	1+2/3	4 (!)	3*(1+2/3) = 5	- цифры 0..4
	----------------------------------------------------------------------
	1.75	1+3/4	4 (?)	4*(1+3/4) = 7   - а где хранить 5 и 6? - значит 6
	1.75	1+3/4	6 (!)	4*(1+3/4) = 7   - цифры  0..7
	----------------------------------------------------------------------
	1.3	1+3/10	A (?)	10*(1+3/10) = 13 - надо еще 11 и 12
	1.3	1+3/10	C (!)	10*(1+3/10) = 13 - цифры 0..C
	----------------------------------------------------------------------
	1.9	1+9/10	A (?)	10*(1+9/10) = 19 - а надо 11..18
	1.9	1+9/10	I (?)	10*(1+9/10) = 19 - цифры  0..I (0..18)
	----------------------------------------------------------------------