3.13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА






Обобщение линии действительных чисел на плоскость. Идея - перпендикулярное к действительной оси направление определяется корнем из -1 (не имеет рашений в действительных числах)

Запись {a,b} - означает а + b*i, где i - квадратный корень из (-1) так называемая мнимая единица i - корень уравнения X^2 + 1 = 0 т.к. (a + b) * (a - b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2 то мы можем разложить X^2 + 1 X^2 + 1 = (X + i)*(X - i) = 0 корни i и -i Действительные числа - частный случай комплексных.


Сложение и вычитание



{a1, b1} + {a2, b2} = {a1 + a2, b1 + b2} {a1, b1} - {a2, b2} = {a1 - a2, b1 - b2}


Умножение



{a1, b1} * {a2, b2} = {a1*a2 - b1*b2, b1*a2 + a1*b2}


Деление

{a1, b1} / {a2, b2} = { (a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2), (b1*a2-a1*b2)/(a2^2+b2^2) } a + b*i a + b*i c - d*i a*c + b*d b*c - a*d --------- = --------- * --------- = ---------- + ----------- i c + d*i c + d*i c - d*i c^2 + d^2 c^2 + d^2


Тригонометрическая форма







Число представляется в виде: a + bi r = sqrt(a^2 + b^2) a = r cos Ф b = r sin Ф


Возведение в степень





[ r (cos Ф + i*sin Ф) ]^n = r^n [cos(nФ) + i*sin(nФ) ] e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x) Пример корней 4 степени из 1:





Комплексные числа широко используются в электроннике. ln(-1) = i*PI ln(2) = ln(2) + i*PI ln(-1/2) = -ln(2) + i*PI

Index Prev Next