40.1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

 
  THIS SECTION IS UNDER CONSTRUCTION  
 


Основные алгоритмы для вычисления транцедентальных функций:

1) CORDIC
   (Coordinate Rotation Digital Computing)

Идея: поворот осей координат на фиксированный угол меньше A.

  



  



	|cos(A)   -sin(A)| |x|   |x'|
	|sin(A)    cos(A)| |y| = |y'|


	x' = x * cos(A) - y * sin(A)
	y' = y * cos(A) + x * sin(A)


	x' / cos(A) = x - y * tg(A)
	y' / cos(A) = y + x * tg(A)

	A		tgA
	45'		1
	26.565'	        1/2
	14.036'		1/4
	7.125'		1/8
	3.576'		1/16
	1.789'		1/32
	0.895'		1/64
	0.4476'		1/128

Делаем сдвиг на такой угол A, чтобы tag(A) = +- 2^(-i)

	x{i+1} = K{i} * (x{i} - (y{i}*d{i}*2^(-i))
	y{i+1} = K{i} * (y{i} + (x{i}*d{i}*2^(-i))
     где,	
	d{i} = +- 1  (направление сдвига)
	K{i} = cos(arctg(2^(-i)))

	cos(arctg(2^(-i))) = 1/sqrt(1 + 2^(-2*i))

  

  


  


  



 
  THIS SECTION IS UNDER CONSTRUCTION  
 




2) Апроксимация
   (convergence Computation method)
   Табличная или по аппроксимирующему полиному
   Затем добиваем ряд как разность, он тоже быстро сходится.

  

  





Один из вариантов для ряда: метод Ньютона

  



	X{n+1} = Xn - F(Xn)/F'(Xn)  в окрестности точки

Сначала берем некое приближенное значение, затем считаем по рекуррентной
формуле.

Примеры:

Надо
вычислить			X{n+1}

SQRT(A)		X^2 - A		0.5 * (Xn + A/Xn)
A^(1/3)		X^3 - A		1/3 * (2Xn + A/(Xn^2))
1/SQRT(A)	X^-2 - A	Xn/2 * (3 - A * Xn^2)
1/A		X^-1 - A	Xn * (2 - A * Xn)

итд



Как узнать где остановится для заданной точности?

X + Y = X*(1+Y/X), если Y/X меньше чем заданная точность, то все приехали.

абсолютная_ошибка    = точное_значение - приближенное_значение
относительная_ошибка = ошибка / точное_значение