73.3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразования:

----------------------------------------------------------------------------
Transformation		Eucledian	Simularity	Affine	Projective
----------------------------------------------------------------------------
Rotation		Yes		Yes		Yes	Yes
Translation             Yes		Yes		Yes	Yes
Uniform scaling		No		Yes		Yes	Yes
Non-uniform scaling     No		No		Yes	Yes
Shear			No		No		Yes	Yes
Perspective projection	No		No		No	Yes
Composition of project.	No		No		No	Yes
----------------------------------------------------------------------------
Invariants
----------------------------------------------------------------------------
Length			Yes		No		No	No
Angle                   Yes		Yes		No	No
Ratio of length		Yes		Yes		No	No
Parallelism		Yes		Yes		Yes	No
Incidence		Yes		Yes		Yes	Yes
Cross ration		Yes		Yes		Yes	Yes
----------------------------------------------------------------------------
	




	u{1} = a{1,1} v{1} + a{1,2} v{2} + a{1,3} v{3}
	u{2} = a{2,1} v{1} + a{2,2} v{2} + a{2,3} v{3}
	u{3} = a{3,1} v{1} + a{3,2} v{2} + a{3,3} v{3}


	|u1|   |a11 a12 a13||v1|	
	|u2| = |a21 a22 a23||v2|
	|u3|   |a31 a32 a33||v3|



2D

Маштабирование (dilatation)

	|a   0   0|
	|0   b   0|
	|0   0   1|

  




Вращение (rotation) CCW

	| c  s   0|
	|-s  c   0|
	| 0  0   1|

  




Сдвиг (translation)

	|1   0   0|
	|0   1   0|
	|a   b   1|

  




Зеркальное отражение

  

   	
	|1   0   0|
	|0  -1   0|	about X-axe
	|0   0   1|


	|-1  0  0|
	| 0  1  0|	about Y-axe
	| 0  0  1|

  


	|-1  0  0|
	| 0 -1  0|	через центр координат
	| 0  0  1|

	|0  1  0|
	|1  0  0|	через линию x=y  (Swap axes)
	|0  0  1|



Shear
  


	Y shear
	|1   0   0|
	|a   1   0|
	|0   0   1|

	X shear
	|1   b   0|
	|0   1   0|
	|0   0   1|



  
  3D 
 

  


	
Сдвиг
	x' = x + a
	y' = y + b
	z' = z + c


	|1  0  0  0|
	|0  1  0  0|
	|0  0  1  0|
	|a  b  c  1|

  






Маштабирование

	|a  0  0  0|
	|0  b  0  0|
	|0  0  c  0|
	|0  0  0  1|

  





Вращение CCW вокруг осей:

  


Вращение в пространстве не коммутативно
(порядок операций важен).
	c = cos a
	s = sin a	

  


        | c   s   0   0 |
z 	|-s   c   0   0 |
	| 0   0   1   0 |
	| 0   0   0   1 |

  



	| 1   0   0   0 |
x	| 0   c   s   0 |
        | 0  -s   c   0 |
	| 0   0   0   1 |

  



	| c   0  -s   0 |
y	| 0   1   0   0 |
	| s   0   c   0 |
	| 0   0   0   1 |



Отражения


от	| 1   0   0   0 |
пл. xy	| 0   1   0   0 |
	| 0   0  -1   0 |
	| 0   0   0   1 |


	|-1   0   0   0 |
от пл.yz| 0   1   0   0 |
        | 0   0   1   0 |
	| 0   0   0   1 |
                   

	| 1   0   0   0 |
от пл zx| 0  -1   0   0 |
	| 0   0   1   0 |
	| 0   0   0   1 |