3.15. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотое сечение - гармоническое деление отрезка на 2 части так что

	a       x
       --- = -------
	x     a - x

	        a
	+------------------+
	+-------+----------+
	+-------+
            x

откуда           +   ----
               1 -  V  5
	x = - ------------- a
	           2

Это было золотое сечение 1го порядка
Золотое сечение бывает и других порядков:

       
     (a/x)^S = x/(a - x)
                                     	        
	--------------------------------------------
	S	0  	1    	2    	3    	4
	--------------------------------------------
	X       0.5     0.618   0.683   0.725  0.755
	--------------------------------------------


Золотое сечение связано с числами Фибоначи соотношением:

                    _
	     Ф^n  - Ф^n
	Fn = -----------	
	      sqrt(5)

где

             1 + sqrt(5)
	Ф = -------------
		2


        _    1 - sqrt(5)
	Ф = -------------
		2
	
Доказательство по индукции:
                _
пусть Ф^n = a,  Ф^n = b.

тогда
	      
	Fn = (a + b) / sqrt(5)   =  (2a + 2b) / (2sqrt(5))

	Fn+1 = (1 + sqrt(5)) a - (1 - sqrt(5)) b     
	       ----------------------------------  
			2 sqrt(5)

	Fn+2 = (1 + 2sqrt(5) + 5) a - (1 - 2sqrt(5) + 5) b
	       ------------------------------------------- =
			4 sqrt(5)

	    =  (6 + 2sqrt(5)) a - (6 - 2sqrt(5)) b
		----------------------------------  =
			4 sqrt(5)

	   =  (3 + sqrt(5))a - (3 - sqrt(5))b
	      --------------------------------
			2 sqrt(5)

Должно выполняться равенство:

	Fn+2 = Fn+1 + Fn

домножим обе части на 2sqrt(5)
получаем:

	(3 + sqrt(5)) a - (3 - sqrt(5) b = (1 + sqrt(5)) a - (1 - sqrt(5) b +
					   2a + 2b

получаем тождество.
Теперь проверим для первых членов ряда:
                           
	F{0} = 0 = 1 - 1   = 0
		   -------
		   sqrt(5)

	F{1} = 1 =  1 + sqrt(5) - (1 - sqrt(5))  = 2sqrt(5) = 1
		   --------------------------      --------
			2 sqrt(5)	           2sqrt(5)


	F{2} = 1 = 1 + 2sqrt(5) + 5 - (1 - 2sqrt(5) + 5)   4sqrt(5)
	           ------------------------------------- = -------- = 1
				4sqrt(5)                   4sqrt(5)


Соответственно по индукции форула верна и для других n.