3.16. НЕМНОГО ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ





Группа

Def === Множество G с заданной на нем бинарной операцией @ назовем ГРУППОЙ если выполняются следующие аксиомы: 1) Ассоциативность Для любых a,b,c из G: (a @ b) @ c = a @ (b @ c) 2) Наличие нейтрального элемента В G существует элемент е такой, что для всех a в G e @ a = a @ e = a 3) Наличие обратного элемента для любого a из G есть обратный элемент b такой, чтo a @ b = b @ a = e (Если выполняются только первые 2 аксиомы то такое множество называется МОНОИДОМ)


Def === Если группа еще и коммутативна т.е. для всех a,b из G a @ b = b @ a то такая группа называется АБЕЛЕВА ГРУППА


Кольцо

Def === Множество G c заданными на нем бинарными операциями '+' и '*' называется КОЛЬЦО если выполняются следующие аксиомы: 1) Коммутативность по сложению для любого a,b в G a + b = b + a 2) Ассоциативность по сложению для любого a,b,c в G a + (b + c) = (a + b) + c 3) Наличие нейтрального элемента по сложению (нуля) В G существует элемент 0 такой, что для всех a в G a + 0 = 0 + a = a 4) Дистрибутивность для любых a,b,c в G a * (b + c) = b * a + c * a Дополнительные свойства возможные у колец: 5) Коммутативность по умножению для любого a,b в G a * b = b * a 6) Ассоциативность по умножению для любого a,b,c в G a * (b * c) = (a * b) * c 7) Наличие нейтрального элемента по умножению (единицы) В G существует элемент 0 такой, что для всех a в G a * 1 = 1 * a = a 8) Отсутствие делителей нуля для любого a,b в G если a * b = 0 то как минимум либо a = 0, либо b (либо оба) Примеры колец: Z - целые числа Zn - кольцо вычетов по модулю натурального числа n R[x1,...,xn] - кольцо многочленов от n переменных над полем R


Тело

Def === Ассоциативное по умножению кольцо с 1 (т.е (6)+(7)) в котором каждый ненулевой элемент обратим т.е для любого ненулевого a из G - существует ненулевой b из G такой что a * b = b * a = 1 называется ТЕЛОМ Пример тел: Квадратные матрицы Кватернионы


Поле

Def === Коммутативное (5) тело называется ПОЛЕМ Примеры полей Q - рациональные числа R - вещественные числа С - комплексные числа Zp - поле вычетов по модулю p, где p - простое число Fq - конечное поле из q = p^k элементов где p - простое число, a k - натуральное

Index Prev Next