3.16.1. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ




	Умножение на скаляр:
		С = n * A
		C{i,j} = n*A{i,j}


	Сложение:
		C = A + B
		C{i,j} = A{i,j} + B{i,j}

	Вычитание:
		C = A - B
		C{i,j} = A{i,j} - B{i,j}

	Умножение:
		C = A * B
		C{i,k} = SUM{по j} [A{i,j} * B{j,k}]
		Умножение не коммутативно
		т.е. AB != BA
			
		A = | 0 1 |		B = | 0 0 |
		    | 0 0 |                 | 1 0 |

		A*B = | 1 0 |		B*A = | 0 0 |
		      | 0 0 |                 | 0 1 |
		но
			A(BC) = (AB)C
			A(B+C) = AB + AC
			(B+C)D = BD + CD


	Нулевая матрица
		A + 0 = A = 0 + A
		A + (-A) = 0 = (-A) + A
		A * 0 = 0
		все элементы нули
		| 0 0 0 |
		| 0 0 0 |
		| 0 0 0 |
		
	

	Единичная матрица:
		I * A = A * I = 1

		Имеет вид:
		единицы на главной диагонали, остальное нули

		| 1 0 |		| 1 0 0 |      	| 1 0 0 0 |
		| 0 1 |         | 0 1 0 |       | 0 1 0 0 |
		                | 0 0 1 |       | 0 0 1 0 |
		                                | 0 0 0 1 |
	Обратная матрица:
		A * A^-1 = I	(существует не всегда)

		| 1 1 |^-1     | 0  1 |
		| 1 0 |     =  | 1 -1 |

		(BA)^-1 = A^-1 * B^-1

		(A^-1)^T = (A^T)^-1


	Вырожденная матрица
		матрица не имеющая обратной

	Транспонированная матрица
		меняются местами строки и столбцы
		A^T
		C{i,j} = A{j,i}

		| 1 2 3 |T      | 1 4 |
		| 4 5 6 |    =  | 2 5 |
		                | 3 6 |

	Симметрическая матрица
		A^T = A

		| 1 2 3 |
		| 2 6 4 |
		| 3 4 5 |

	Минор элемента a{i,j} матрицы A(nxn) - матрица (n-1)x(n-1) получаемая
	вычеркивание из матрицы A i-й строки и j-того столбца.
	обозначается как A[i,j]
		

	Определитель:

	det(A) =  a{1,1} если n=1,
		  a{1,1}*det(A[1,1]) - a{1,2}det(A[1,2]) + ...
			+ (-1)^(n+1)*a{1,n}det(A[1,n]), если n>1

	det(AB) = det(A)det(B)

	Квадратная матрица A являестсы вырожденной тогда и только тогда
	когда det(A) = 0.

	И снова обратная матрица:
	                  | D{1,1} D{1,2} D{1,3} |
	A^-1 = 1/det(A) * |               ..     |
		  	  | D{3,1}  ....  D{3,3} |


	где  D{i,j} - алгебраические дополнения элементов a{i,j} исходной
	матрицы.

	D{i,j} = (-1)^(i+j) * det(A[i,j])



Index Prev Next