3.16.1. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
Умножение на скаляр:
С = n * A
C{i,j} = n*A{i,j}
Сложение:
C = A + B
C{i,j} = A{i,j} + B{i,j}
Вычитание:
C = A - B
C{i,j} = A{i,j} - B{i,j}
Умножение:
C = A * B
C{i,k} = SUM{по j} [A{i,j} * B{j,k}]
Умножение не коммутативно
т.е. AB != BA
A = | 0 1 | B = | 0 0 |
| 0 0 | | 1 0 |
A*B = | 1 0 | B*A = | 0 0 |
| 0 0 | | 0 1 |
но
A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB + AC
(B+C)D = BD + CD
Нулевая матрица
A + 0 = A = 0 + A
A + (-A) = 0 = (-A) + A
A * 0 = 0
все элементы нули
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |
Единичная матрица:
I * A = A * I = 1
Имеет вид:
единицы на главной диагонали, остальное нули
| 1 0 | | 1 0 0 | | 1 0 0 0 |
| 0 1 | | 0 1 0 | | 0 1 0 0 |
| 0 0 1 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
Обратная матрица:
A * A^-1 = I (существует не всегда)
| 1 1 |^-1 | 0 1 |
| 1 0 | = | 1 -1 |
(BA)^-1 = A^-1 * B^-1
(A^-1)^T = (A^T)^-1
Вырожденная матрица
матрица не имеющая обратной
Транспонированная матрица
меняются местами строки и столбцы
A^T
C{i,j} = A{j,i}
| 1 2 3 |T | 1 4 |
| 4 5 6 | = | 2 5 |
| 3 6 |
Симметрическая матрица
A^T = A
| 1 2 3 |
| 2 6 4 |
| 3 4 5 |
Минор элемента a{i,j} матрицы A(nxn) - матрица (n-1)x(n-1) получаемая
вычеркивание из матрицы A i-й строки и j-того столбца.
обозначается как A[i,j]
Определитель:
det(A) = a{1,1} если n=1,
a{1,1}*det(A[1,1]) - a{1,2}det(A[1,2]) + ...
+ (-1)^(n+1)*a{1,n}det(A[1,n]), если n>1
det(AB) = det(A)det(B)
Квадратная матрица A являестсы вырожденной тогда и только тогда
когда det(A) = 0.
И снова обратная матрица:
| D{1,1} D{1,2} D{1,3} |
A^-1 = 1/det(A) * | .. |
| D{3,1} .... D{3,3} |
где D{i,j} - алгебраические дополнения элементов a{i,j} исходной
матрицы.
D{i,j} = (-1)^(i+j) * det(A[i,j])
Index Prev Next